Gaussian Smoothing Nombres comunes: Suavizado gaussiano Breve descripción El operador de suavizado gaussiano es un operador de convolución de 2-D que se utiliza para desenfocar imágenes y eliminar detalles y ruido. En este sentido, es similar al filtro medio. Pero utiliza un kernel diferente que representa la forma de una joroba gaussiana (en forma de campana). Este kernel tiene algunas propiedades especiales que se detallan a continuación. Cómo funciona La distribución gaussiana en 1-D tiene la forma: donde es la desviación estándar de la distribución. También hemos supuesto que la distribución tiene una media de cero (es decir, está centrada en la recta x 0). La distribución se ilustra en la Figura 1. Figura 1 Distribución Gaussiana 1-D con media 0 y 1 En 2-D, un Gaussiano isotrópico (es decir, circularmente simétrico) tiene la forma: Esta distribución se muestra en la Figura 2. Figura 2 2-D Distribución gaussiana con media (0,0) y 1 La idea de suavizado gaussiano es utilizar esta distribución 2-D como una función de propagación de puntos, y esto se logra mediante convolución. Dado que la imagen se almacena como una colección de píxeles discretos, necesitamos producir una aproximación discreta a la función gaussiana antes de poder realizar la convolución. En teoría, la distribución gaussiana no es cero en todas partes, lo que requeriría un núcleo de convolución infinitamente grande, pero en la práctica es efectivamente cero más que unas tres desviaciones estándar respecto a la media, por lo que podemos truncar el núcleo en este punto. La Figura 3 muestra un núcleo de convolución de valor entero adecuado que se aproxima a un Gaussiano con un valor de 1,0. No es obvio cómo escoger los valores de la máscara para aproximarse a un Gaussiano. Uno podría utilizar el valor de Gaussian en el centro de un pixel en la máscara, pero esto no es exacto porque el valor del Gaussian varía no linealmente a través del pixel. Se integró el valor del gaussiano sobre el píxel completo (sumando el gaussiano a 0,001 incrementos). Las integrales no son números enteros: hemos reescalado la matriz de modo que las esquinas tuvieran el valor 1. Finalmente, la 273 es la suma de todos los valores de la máscara. Figura 3 Aproximación discreta a la función gaussiana con 1,0 Una vez que se ha calculado un núcleo adecuado, entonces el suavizado gaussiano se puede realizar utilizando métodos de convolución estándar. De hecho, la convolución se puede realizar con bastante rapidez, ya que la ecuación para el Gaussian 2-D isotrópico mostrada anteriormente es separable en componentes xey. Por lo tanto, la convolución 2-D se puede realizar convolucionando primero con un Gaussiano 1-D en la dirección x, y luego convolucionando con otro Gaussiano 1-D en la dirección y. (El Gaussiano es de hecho el único operador completamente circularmente simétrico que puede ser descompuesto de tal manera.) La Figura 4 muestra el núcleo componente 1-D que se usaría para producir el núcleo completo mostrado en la Figura 3 (después de escalar por 273 , Redondeando y truncando una fila de píxeles alrededor del límite, ya que en su mayoría tienen el valor 0. Esto reduce la matriz 7x7 a la 5x5 mostrada anteriormente.). El componente y es exactamente el mismo pero está orientado verticalmente. Figura 4 Uno de los pares de núcleos de convolución 1-D usados para calcular el núcleo completo mostrado en la Figura 3 más rápidamente. Otra forma de calcular un suavizado gaussiano con una gran desviación estándar es convolver una imagen varias veces con un Gaussiano más pequeño. Aunque esto es compleja desde el punto de vista computacional, puede tener aplicabilidad si el procesamiento se lleva a cabo usando una tubería de hardware. El filtro Gaussiano no sólo tiene utilidad en aplicaciones de ingeniería. También está atrayendo la atención de los biólogos computacionales porque se ha atribuido con cierta cantidad de plausibilidad biológica, p. Algunas células en las vías visuales del cerebro a menudo tienen una respuesta aproximadamente gaussiana. Directrices para el uso El efecto de suavizado gaussiano es desenfocar una imagen, de manera similar al filtro medio. El grado de suavizado es determinado por la desviación estándar del Gaussiano. (Mayor desviación estándar Gaussianos, por supuesto, requieren núcleos de convolución más grandes para ser representados con precisión.) El gaussiano emite un promedio ponderado de cada barrio de píxeles, con el promedio ponderado más hacia el valor de los píxeles centrales. Esto contrasta con el promedio de los filtros de media ponderada uniformemente. Debido a esto, un Gaussiano proporciona suavizado más suave y conserva los bordes mejor que un filtro medio de tamaño similar. Una de las principales justificaciones para utilizar el Gaussiano como filtro de suavizado se debe a su respuesta en frecuencia. La mayoría de los filtros de suavizado basados en convolución actúan como filtros de frecuencia de paso bajo. Esto significa que su efecto es eliminar componentes de alta frecuencia espacial de una imagen. La respuesta en frecuencia de un filtro de convolución, es decir, su efecto sobre diferentes frecuencias espaciales, se puede ver tomando la transformada de Fourier del filtro. La Figura 5 muestra las respuestas de frecuencia de un filtro 1-D medio con ancho 5 y también de un filtro gaussiano con 3 píxeles. El eje de frecuencia espacial está marcado en ciclos por píxel y, por lo tanto, ningún valor superior a 0,5 tiene un significado real. Ambos filtros atenúan frecuencias altas más que bajas frecuencias, pero el filtro medio exhibe oscilaciones en su respuesta de frecuencia. Por el contrario, el Gaussiano no muestra oscilaciones. De hecho, la forma de la curva de respuesta en frecuencia es en sí misma (medio a) gaussiana. Así que al elegir un filtro gaussiano de tamaño adecuado, podemos estar bastante seguros acerca de qué rango de frecuencias espaciales sigue presente en la imagen después del filtrado, lo que no es el caso del filtro medio. Esto tiene consecuencias para algunas técnicas de detección de bordes, como se menciona en la sección sobre cruces por cero. (El filtro gaussiano también resulta muy similar al filtro de suavizado óptimo para la detección de bordes bajo los criterios utilizados para derivar el detector de borde Canny) para ilustrar el efecto del alisado con filtros gaussianos sucesivamente mayores y grandes. Muestra el efecto de filtrado con un Gaussiano de 1,0 (y tamaño del núcleo 52155). Muestra el efecto de filtrado con un Gaussiano de 2,0 (y el tamaño del núcleo 92159). Muestra el efecto de filtrado con un gaussiano de 4,0 (y tamaño del núcleo 1521515). Ahora consideramos el uso del filtro gaussiano para la reducción del ruido. Por ejemplo, considere la imagen que ha sido dañada por el ruido gaussiano con una media de cero y 8. Alisando esto con un rendimiento de 52155 Gaussian (Compare este resultado con el alcanzado por los filtros medio y mediano.) El ruido de sal y pimienta es más desafiante Para un filtro gaussiano. Aquí vamos a suavizar la imagen que ha sido dañada por 1 ruido de sal y pimienta (es decir, bits individuales se han volteado con probabilidad 1). La imagen muestra el resultado del suavizado gaussiano (usando la misma convolución que anteriormente). Compare esto con el Aviso original de que gran parte del ruido sigue existiendo y que, aunque ha disminuido algo de magnitud, ha sido manchado en una región espacial más grande. El aumento de la desviación estándar continúa reduciendo / desdibujando la intensidad del ruido, pero también atenúa significativamente el detalle de alta frecuencia (por ejemplo, los bordes), como se muestra en Experimentación interactiva Puede experimentar interactivamente con este operador haciendo clic aquí. Ejercicios A partir del ruido gaussiano (media 0, 13) la imagen corrompida calcula tanto el filtro medio como el filtro gaussiano suavizado en varias escalas, y compara cada uno en términos de eliminación de ruido frente a pérdida de detalle. A cuántas desviaciones estándar de la media una caída gaussiana a 5 de su valor máximo. Sobre la base de esto se sugiere un tamaño de núcleo cuadrado adecuado para un filtro gaussiano con s. Estimación de la respuesta de frecuencia para un filtro gaussiano por suavizado gaussiano de una imagen, y tomando su transformada de Fourier antes y después. Compare esto con la respuesta de frecuencia de un filtro medio. ¿Cómo se compara el tiempo necesario para suavizar con un filtro gaussiano con el tiempo que se tarda en suavizar con un filtro medio para un núcleo del mismo tamaño? Obsérvese que en ambos casos la convolución puede acelerarse considerablemente explotando ciertas características del núcleo. Referencias E. Davies Visión de máquina: teoría, algoritmos y prácticas. Academic Press, 1990, pp 42 - 44. R. Gonzalez y R. Woods Digital Image Processing. Addison-Wesley Publishing Company, 1992, pág. 191. R. Haralick y L. Shapiro Computer and Robot Vision. Addison-Wesley Publishing Company, 1992, vol. 1, Cap. 7. B. Visión del robot del cuerno. MIT Press, 1986, Cap. 8. Visión de la máquina de D. Vernon. Prentice-Hall, 1991, pp 59-61, 214. Información local Puede encontrar información específica sobre este operador aquí. Se proporciona una información más general sobre la instalación local de HIPR en la sección introductoria de información local. Promedios móviles gaussianos, semimartingales y precios de opciones. Resumen Proporcionamos una caracterización de los procesos gaussianos con incrementos estacionarios que pueden representarse como una media móvil con respecto a dos Movimientos brownianos. Para tal proceso damos una condición necesaria y suficiente para ser una semimartingala con respecto a la filtración generada por el movimiento browniano de dos caras. Además, mostramos que esta condición implica que el proceso es de variación finita o un múltiplo de un movimiento browniano con respecto a una medida de probabilidad equivalente. Como aplicación discutimos el problema de la fijación de precios de opciones en modelos financieros impulsados por medias móviles gaussianas con incrementos estacionarios. En particular, derivamos los precios de opción en una versión fraccionada regularizada del modelo de BlackndashScholes. MSC Palabras clave Procesos gaussianos Representación media móvil Semimartingales Medidas de martingala equivalentes Precio de opciones 1. Introducción Sea un espacio de probabilidad equipado con un movimiento browniano de dos caras. Esto es, un proceso Gaussiano centrado continuo con covarianza Para una función que es cero en el eje real negativo y satisface para todo t gt0, se puede definir el proceso Gaussiano centrado con incrementos estacionarios, El propósito de este trabajo es el estudio de procesos de El formulario (1.1) con vistas a la modelización financiera. Si (X t) t 0 es un proceso estocástico. Denotamos por la filtración más pequeña que satisface las suposiciones usuales y contiene la filtración Por denotan la filtración más pequeña que satisface las suposiciones usuales y contiene la filtración La estructura del papel es como sigue. En la sección 2 recordamos un resultado de Karhunen (1950). Que da las condiciones necesarias y suficientes para que un proceso Gaussiano centrado estacionario sea representable en la forma donde. En la Sección 3 damos una caracterización de aquellos procesos de la forma (1.1) que son - semimartingales y mostramos que son procesos de variación finita, o para cada T isin (0, infin), existe una medida de probabilidad equivalente bajo la cual (Y t) t isin0, T es un múltiplo de un movimiento browniano. En la sección 4 aplicamos una transformación introducida en Masani (1972) para establecer una correspondencia uno a uno entre los procesos gaussianos centrados estacionarios y los procesos gaussianos centrados con incrementos estacionarios que son cero para t 0. Esto nos permite extender el resultado de Karhunens a centrado Gaussianos con incrementos estacionarios y para mostrar que cada proceso de la forma (1.1) puede ser aproximado por semimartingales de la forma (1.1). Al transferir los resultados de la Sección 3 de nuevo al marco de los procesos gaussianos centrados estacionarios, obtenemos una extensión del Teorema 6.5 de Knight (1992). Lo que da una condición necesaria y suficiente para que un proceso de la forma (1.2) sea una - semimartingale. En la Sección 5 discutimos el problema de la fijación de precios de opciones en modelos financieros impulsados por procesos de la forma (1.1). Por ejemplo, el precio de una opción de compra europea en un modelo de BlackndashScholes fracción regularizada. La producción tsmovavg tsmovavg (tsobj, s, lag) devuelve el promedio móvil simple para el objeto de serie temporal financiera, tsobj. Lag indica el número de puntos de datos anteriores utilizados con el punto de datos actual al calcular la media móvil. La salida tsmovavg (vector, s, lag, dim) devuelve la media móvil simple para un vector. Lag indica el número de puntos de datos anteriores utilizados con el punto de datos actual al calcular la media móvil. La salida tsmovavg (tsobj, e, timeperiod) devuelve la media móvil ponderada exponencial para la serie de tiempo financiero, tsobj. La media móvil exponencial es una media móvil ponderada, en la que timeperiod especifica el período de tiempo. Las medias móviles exponenciales reducen el retraso aplicando más peso a los precios recientes. Por ejemplo, una media móvil exponencial de 10 periodos pesa el precio más reciente en 18.18. Porcentaje exponencial 2 / (TIMEPER 1) o 2 / (WINDOWSIZE 1). La salida tsmovavg (vector, e, timeperiod, dim) devuelve la media móvil ponderada exponencial para un vector. La media móvil exponencial es una media móvil ponderada, en la que timeperiod especifica el período de tiempo. Las medias móviles exponenciales reducen el retraso aplicando más peso a los precios recientes. Por ejemplo, una media móvil exponencial de 10 periodos pesa el precio más reciente en 18.18. (2 / (periodo de tiempo 1)). La salida tsmovavg (tsobj, t, numperiod) devuelve la media móvil triangular para el objeto de serie temporal financiera, tsobj. La media móvil triangular dobla los datos. Tsmovavg calcula la primera media móvil simple con el ancho de la ventana de ceil (numperíodo 1) / 2. Luego calcula un segundo promedio móvil simple en el primer promedio móvil con el mismo tamaño de ventana. La salida tsmovavg (vector, t, numperiod, dim) devuelve el promedio móvil triangular de un vector. La media móvil triangular dobla los datos. Tsmovavg calcula la primera media móvil simple con el ancho de la ventana de ceil (numperíodo 1) / 2. Luego calcula un segundo promedio móvil simple en el primer promedio móvil con el mismo tamaño de ventana. La salida tsmovavg (tsobj, w, weights) devuelve la media móvil ponderada para el objeto de serie temporal financiera, tsobj. Suministrando pesos para cada elemento en la ventana en movimiento. La longitud del vector de peso determina el tamaño de la ventana. Si se utilizan factores de peso mayores para precios más recientes y factores más pequeños para los precios anteriores, la tendencia es más sensible a los cambios recientes. La salida tsmovavg (vector, w, pesos, dim) devuelve la media móvil ponderada del vector suministrando pesos para cada elemento de la ventana en movimiento. La longitud del vector de peso determina el tamaño de la ventana. Si se utilizan factores de peso mayores para precios más recientes y factores más pequeños para los precios anteriores, la tendencia es más sensible a los cambios recientes. La salida tsmovavg (tsobj, m, numperiod) devuelve la media móvil modificada para el objeto de serie temporal financiera, tsobj. La media móvil modificada es similar a la media móvil simple. Considere el argumento numperiod como el desfase de la media móvil simple. La primera media móvil modificada se calcula como una media móvil simple. Los valores subsiguientes se calculan sumando el nuevo precio y restando el último promedio de la suma resultante. La salida tsmovavg (vector, m, numperiod, dim) devuelve la media móvil modificada para el vector. La media móvil modificada es similar a la media móvil simple. Considere el argumento numperiod como el desfase de la media móvil simple. La primera media móvil modificada se calcula como una media móvil simple. Los valores subsiguientes se calculan sumando el nuevo precio y restando el último promedio de la suma resultante. Dim 8212 dimensión para operar a lo largo de entero positivo con valor 1 o 2 Dimensión para operar a lo largo, especificado como un entero positivo con un valor de 1 o 2. dim es un argumento de entrada opcional, y si no se incluye como una entrada, el valor predeterminado Se asume el valor 2. El valor predeterminado de dim 2 indica una matriz orientada a filas, donde cada fila es una variable y cada columna es una observación. Si dim 1. se supone que la entrada es un vector de columna o una matriz orientada a columnas, donde cada columna es una variable y cada fila una observación. E 8212 Indicador para el vector de caracteres de media móvil exponencial El promedio móvil exponencial es una media móvil ponderada, en la que el tiempo es el período de tiempo de la media móvil exponencial. Las medias móviles exponenciales reducen el retraso aplicando más peso a los precios recientes. Por ejemplo, una media móvil exponencial de 10 periodos pesa el precio más reciente en 18.18. Porcentaje exponencial 2 / (TIMEPER 1) o 2 / (WINDOWSIZE 1) período de tiempo 8212 Longitud del período de tiempo entero no negativo Seleccione su paísMoving Average Filter (MA filter) Loading. El filtro de media móvil es un simple filtro FIR de paso bajo (respuesta de impulso finito) comúnmente utilizado para suavizar una matriz de datos / señal muestreados. Se toman M muestras de entrada a la vez y tomar el promedio de esas M-muestras y produce un solo punto de salida. Se trata de una simple LPF (Low Pass Filter) estructura que viene práctico para los científicos y los ingenieros para filtrar el componente ruidoso no deseado de los datos previstos. A medida que aumenta la longitud del filtro (el parámetro M) aumenta la suavidad de la salida, mientras que las transiciones bruscas en los datos se hacen cada vez más contundentes. Esto implica que este filtro tiene excelente respuesta en el dominio del tiempo pero una respuesta de frecuencia pobre. El filtro MA realiza tres funciones importantes: 1) toma M puntos de entrada, calcula el promedio de esos puntos M y produce un único punto de salida. 2) Debido al cálculo / cálculos involucrados. El filtro introduce una cantidad definida de retardo 3) El filtro actúa como un filtro de paso bajo (con una respuesta de dominio de frecuencia pobre y una buena respuesta de dominio de tiempo). Código Matlab: El siguiente código matlab simula la respuesta en el dominio del tiempo de un filtro M-point Moving Average y también traza la respuesta de frecuencia para varias longitudes de filtro. Respuesta de Dominio de Tiempo: En la primera trama, tenemos la entrada que va en el filtro de media móvil. La entrada es ruidosa y nuestro objetivo es reducir el ruido. La siguiente figura es la respuesta de salida de un filtro de media móvil de 3 puntos. Puede deducirse de la figura que el filtro de media móvil de 3 puntos no ha hecho mucho en filtrar el ruido. Aumentamos los grifos de filtro a 51 puntos y podemos ver que el ruido en la salida se ha reducido mucho, que se representa en la siguiente figura. Aumentamos los grifos más allá de 101 y 501 y podemos observar que aunque el ruido sea casi cero, las transiciones se atenuan drásticamente (observe la pendiente en cada lado de la señal y compárelas con la transición ideal de pared de ladrillo en Nuestra entrada). Respuesta de Frecuencia: A partir de la respuesta de frecuencia se puede afirmar que el roll-off es muy lento y la atenuación de banda de parada no es buena. Dada esta atenuación de banda de parada, claramente, el filtro de media móvil no puede separar una banda de frecuencias de otra. Como sabemos que un buen rendimiento en el dominio del tiempo da como resultado un rendimiento pobre en el dominio de la frecuencia, y viceversa. En resumen, el promedio móvil es un filtro de suavizado excepcionalmente bueno (la acción en el dominio del tiempo), pero un filtro de paso bajo excepcionalmente malo (la acción en el dominio de la frecuencia) Enlaces externos: Libros recomendados: Sidebar primarioConsider tener una señal en el Tiempo, y desea suavizar la señal. Media móvil y filtros gaussianos que se utilizan. ¿Cómo elegir qué se utiliza para qué? ¿Cuáles son las condiciones bajo las cuales Gaussian es mejor y las condiciones en las que media móvil es mejor Lo que estoy tratando de hacer con esta señal es, detección de pico inicialmente, luego aplicar pequeñas ventanas en cada parte y figura Los cambios de frecuencia (desplazamientos Doppler) para cada parte para determinar la dirección del movimiento a partir del cambio de frecuencia. Quiero suavizar la señal en el dominio del tiempo sin pérdida de información en el dominio de la frecuencia. Pensé para la parte de calcular hacia fuera los cambios de Doppler, usando STFT sería una buena idea. Si la referencia pudo ser dada a un cierto papel, eso también sería realmente provechoso. Preguntó Sep 29 a las 11:12
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